I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

 

 

IL PARALLELOGRAMMA

 

DEFINIZIONE

Un parallelogramma un quadrilatero con i lati opposti paralleli.

 

Un parallelogramma pu anche essere definito come intersezione di due strisce non parallele. Ci permette di affermare che  un parallelogramma una figura convessa.

Esaminiamo ora le cinque condizioni necessarie affinch un quadrilatero sia un parallelogramma.

TEOREMA

Se un quadrilatero un parallelogramma allora:

I seguenti teoremi forniscono invece quattro condizioni sufficienti a stabilire se un quadrilatero sia un parallelogramma.

TEOREMA

Se un quadrilatero convesso ha i lati opposti congruenti, allora un parallelogramma.

 

TEOREMA

Se un quadrilatero convesso ha gli angoli opposti congruenti, allora un parallelogramma.

 

TEOREMA

Se un quadrilatero convesso ha le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, allora un parallelogramma.

 

TEOREMA

Se un quadrilatero convesso ha due lati opposti congruenti e paralleli, allora un parallelogramma.

 

IL RETTANGOLO

 

Esistono alcuni parallelogrammi particolari, che andremo ora ad esaminare.

DEFINIZIONE

Un rettangolo un parallelogramma con gli angoli congruenti.

 

Poich gli angoli adiacenti a un lato di un parallelogramma sono supplementari, ogni angolo di un rettangolo un angolo retto. Di conseguenza, per dimostrare che un parallelogramma sia un rettangolo, sufficiente dimostrare che abbia un angolo retto.

TEOREMA

Un rettangolo ha le diagonali congruenti.

 

Da questo teorema deriva quindi che un parallelogramma con le diagonali congruenti un rettangolo.

 

TEOREMA

Date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall'altra.

 

Questo teorema ci permette di chiamare distanza fra due rette parallele la distanza di un qualsiasi punto di una all'altra. Tale distanza viene anche detta altezza della striscia individuata dalle due parallele.

In un parallelogramma, preso un lato come base, l'altezza la distanza fra il lato opposto alla base e la retta contenente la base.

 

IL ROMBO

DEFINIZIONE

Un rombo un parallelogramma con i lati congruenti.

 

TEOREMA

Un rombo ha le diagonali che sono perpendicolari fra di loro e bisettrici degli angoli.

 

Da questo teorema derivano poi due criteri per stabilire se un parallelogramma un rombo.

TEOREMA

Se un quadrilatero ha le diagonali che sono perpendicolari fra di loro, allora un rombo.

 

TEOREMA

Se un quadrilatero ha le diagonali che sono bisettrici degli angoli, allora un rombo.

 

IL QUADRATO

 

DEFINIZIONE

Un quadrato un parallelogramma con gli angoli ed i lati congruenti.

 

Dalla definizione si deduce che un quadrato un rettangolo e un rombo.

TEOREMA

Un quadrato ha le diagonali congruenti, perpendicolari fra di loro e bisettrici degli angoli.

 

TEOREMA COROLLARIO

Ogni quadrato scomposto da ciascuna delle sue diagonali in due triangoli rettangoli isosceli.

 

Da questi teoremi si deducono poi due criteri per stabilire se un parallelogramma un quadrato.

TEOREMA

Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e perpendicolari fra di loro, allora un quadrato.

 

TEOREMA

Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e una di esse bisettrice di un angolo, allora un quadrato.

 

IL TRAPEZIO

 

DEFINIZIONE

Un trapezio un parallelogramma con due lati paralleli.

 

Il trapezio pu anche essere definito come l'intersezione tra una striscia ed un angolo.

I due lati paralleli si chiamano basi; una la base maggiore, l'altra la base minore. I lati obliqui, non paralleli, vengono anche chiamati semplicemente lati del trapezio. La distanza fra le due basi l'altezza del trapezio.

DEFINIZIONE

Un trapezio isoscele un trapezio con i lati obliqui congruenti.

 

DEFINIZIONE

Un trapezio rettangolo un trapezio che ha uno dei lati perpendicolare alle basi.

 

In un trapezio rettangolo, il lato perpendicolare alle basi rappresenta l'altezza del trapezio.

 

TEOREMA

In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

 

LE CORRISPONDENZE  IN UN FASCIO DI RETTE PARALLELE

 

DEFINIZIONE

Un fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta data.

 

Una retta che interseca una retta del fascio le interseca tutte. Essa si chiama trasversale del fascio. Quando le trasversali sono pi di una, i punti in cui ogni retta del fascio interseca le trasversali sono detti corrispondenti. I segmenti corrispondenti sono quelli che hanno per estremi punti corrispondenti.

TEOREMA

Dato un fascio improprio di rette tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull'altra trasversale.

 

TEOREMA COROLLARIO

Se in un triangolo tracciamo la retta passante per il punto medio di un lato e parallela ad un altro lato, essa incontra anche il terzo lato nel suo punto medio.

 

TEOREMA

Se in un triangolo si congiungono i punti medi dei due lati, il segmento che si ottiene parallelo al terzo lato e congruente alla sua met.